Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2-si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{3-2co{s}^{2}x}$，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 化余弦为正弦，然后换元，再配方，最后利用“对勾函数”的单调性求得最值．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2-si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{3-2co{s}^{2}x}$=$\frac{1}{2-si{n}^{2}x}+\frac{1}{1+2si{n}^{2}x}$
=$\frac{1+2si{n}^{2}x+2-si{n}^{2}x}{（2-si{n}^{2}x）（1+2si{n}^{2}x）}=\frac{3+si{n}^{2}x}{（2-si{n}^{2}x）（1+2si{n}^{2}x）}$．
令t=sin²x（0≤t≤1），
则原函数化为g（t）=$\frac{3+t}{（2-t）（1+2t）}=\frac{t+3}{-2{t}^{2}+3t+2}$
=$\frac{t+3}{-2（t+3）^{2}+15（t+3）-25}$=$\frac{1}{-[（t+3）+\frac{25}{t+3}]+15}$．
∵3≤t+3≤4，∴$-[（t+3）+\frac{25}{t+3}]+15$∈[$\frac{11}{3}，\frac{19}{4}$]．
∴$g（t）_{min}=\frac{4}{19}$．
即f（x）的最小值为$\frac{19}{4}$．

点评 本题考查函数的最值，考查了换元法、配方法以及“对勾函数”在求最值中的应用，是中档题．