Question

5．已知a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（-cosx）dx，则（ax+$\frac{1}{2ax}$）⁹展开式中，x³项的系数为-$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 求出被积函数，由定积分公式求出a，求出二项式的通项公式，化简整理，令9-2r=3，求出r，即可得到所求系数．

解答 解：a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（-cosx）dx=-sinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$
=-（sin$\frac{π}{2}$-sin0）=-1，
则（-x-$\frac{1}{2x}$）⁹展开式中的通项公式为${C}_{9}^{r}$（-x）^9-r（-$\frac{1}{2x}$）^r
=-（$\frac{1}{2}$）^r${C}_{9}^{r}$x^9-2r，r=0，1，…，9，
由9-2r=3，可得r=3，
x³项的系数为-（$\frac{1}{2}$）³${C}_{9}^{3}$=-$\frac{21}{2}$．
故答案为：-$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查定积分的运算和二项式定理的运用：求指定项的系数，考查运算能力，属于中档题．