Question

10．已知命题P：4^x-a•2^x+1≥0对?x∈[-1，1]恒成立，命题Q：f（x）=log₂（ax²-2x+$\frac{1}{3}$）的值域是R，若满足P且Q为假，P或Q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先解命题，再研究命题的关系．若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案．

解答 解：∵命题P：4^x-a•2^x+1≥0对?x∈[-1，1]恒成立，
∴a≤2^x+2^-x，对?x∈[-1，1]恒成立，
∴a≤2，
∵命题Q：f（x）=log₂（ax²-2x+$\frac{1}{3}$）的值域是R，
∴①a=0时，f（x）=log₂（-2x+$\frac{1}{3}$），符合题意；
②a≠0时，由题意，a＞0且△≥0，
综上，0≤a≤3，
∵P且Q为假，P或Q为真，∴P、Q一真一假，
①若P真，Q假，则a＜0；
②若P假，Q真，则2＜a≤3．
综上，实数a的取值范围为（-∞，0）∪（2，3]．

点评 本题通过逻辑关系来考查函数单调性和不等式恒成立问题，属于中档题．