Question

(2006湖北，20)设A、B分别为椭圆(a、b＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．

(1)求椭圆的方程；

(2)设P为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内(此题不要求在答题卡上画图)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)依题意得解得从而， 故椭圆方程为． (2)解法一：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．设． ∵M点在椭圆上，∴．　　① 又M点异于顶点A、B，∴． 由P、A、M三点共线可得． 从而，． ∴．　　② 将①式代入②式简化得． ∵，∴．于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内． 解法二：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．设P(4，λ)(λ≠0)， ，，则直线AP的方程，直线BP的方程为． ∵点M、N分别在直线AP、BP上， ∴，． 从而．　　③ 联立消去y，得． ∵，―2是方程的两根，∴， 即．　　④ 又 ．　　⑤ 于是由③、④式代入⑤式化简可得． ∵N点在椭圆上，且异于顶点A、B，∴． 又∵λ≠0，∴，从而， 故∠MBN为钝角，即点B在以NM为直径的圆内． 解法三：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．设，，则，．又MN的中点Q的坐标为，∴ 化简得．　　⑥ 直线AP的方程为， 直线BP的方程为． ∵点P在准线x=4上， ∴，即．　　⑦ 又∵M点在椭圆上， ∴，即．　　⑧ 于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得 ． 从而B在以MN为直径的圆内．

提示：

剖析：本题考查椭圆、圆以及直线与椭圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力．