Question

9．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=$\frac{1}{2}$，则下列结论中正确的序号是①②③．
①AC⊥BE  ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A-BEF的体积为定值
④△AEF的面积与△BEF的面积相等．

Answer 1

分析 由线面垂直证得两线垂直判断①；
由线面平行的定义证得线面平行判断②；
由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断③；
由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等．

解答 解：对于①，由题意及图形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，故①正确；
对于②，由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故②正确；
对于③，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD₁B₁B，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，故③正确；
对于④，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故④错误．
∴正确命题的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，是中档题．