Question

4．某商品每天以每瓶5元的价格从奶厂购进若干瓶24小时新鲜牛奶，然后以每瓶8元的价格出售，如果当天该牛奶卖不完，则剩下的牛奶就不再出售，由奶厂以每瓶2元的价格回收处理．
（1）若商品一天购进20瓶牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：瓶，n∈N）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该牛奶的日需求量（单位：瓶），整理得如表：

日需求量n（瓶）	17	18	19	20	21	22	23
频数	5	5	8	12	10	6	4

以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，假设商店一天购进20瓶牛奶，随机变量X表示当天的利润（单位：元），求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数直接列出函数的解析式即可．
（2）随机变量X可取42，48，54，60，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）当日需求量n≥20时，利润y=60（元）；
当日需求量n＜20时，利润y=8n+2（20-n）-100=6n-60（元），
则利润y关于当天需求量n的函数解析式为：$y=\left\{\begin{array}{l}6n-60，n＜20\\ 60，n≥20\end{array}\right.$（n∈N）．…6分
（Ⅱ）随机变量X可取42，48，54，60，
则P（X=42）=0.1，P（X=48）=0.1，P（X=54）=0.16，P（X=60）=0.64，
随机变量X的分布列为

X	42	48	54	60
P	0.1	0.1	0.16	0.64

…（10分）
EX=42×0.1+48×0.1+54×0.16+60×0.64=56.04．…（12分）

点评 本题考查分段函数的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．