题目内容

18．若函数f（x）=xα的图象经过点A（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），则它在点A处的切线方程是（　　）
A．2x+y=0B．2x-y=0C．4x-4y+1=0D．4x+4y+1=0

分析 运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．

解答 解：因为函数f（x）=xα的图象经过点A（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），则有$\frac{1}{2}=（\frac{1}{4}）^{α}$，
则α=$\frac{1}{2}$，
即有f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$．
则f′（x）=$\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$，
则f（x）在点A处的切线斜率为1，
则有切线方程为y-$\frac{1}{2}$=x-$\frac{1}{4}$，即为4x-4y+1=0．
故选：C．

点评 本题考查幂函数的定义，主要考查导数的运用：求切线方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．

练习册系列答案
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8．当x∈R，|x|＜1时，有如下表述式：1+x+x2+…+xn+…=$\frac{1}{1-{x}^{n}}$，
两边同时积分得：
${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$1dx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xdx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$x2dx+…+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xndx+…=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{1-x}$dx
从而得到如下等式：1×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$）2+$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）3+…+$\frac{1}{n+1}$×（$\frac{1}{3}$）n+1+…=ln3-ln2．
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
Cn0×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$Cn1×（$\frac{1}{3}$）2+$\frac{1}{3}$Cn2×（$\frac{1}{3}$）3+…+$\frac{1}{n+1}$Cnn×（$\frac{1}{3}$）n+1=$\frac{1}{n+1}$$[（\frac{4}{3}）^{n+1}-1]$．
9．参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t}+1\\ y=1-2\sqrt{t}\end{array}$（t为参数）表示的曲线不经过点（　　）
A．（0，3）B．（1，1）C．$（{\frac{3}{2}，0}）$D．（2，-1）
6．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n，求an以及Sn．
13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，3），$\overrightarrow{b}$=（4，-3），则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1．
3．若0≤α＜β＜γ＜2π且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求β-α
10．执行如图所示的算法框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是S＞$\frac{7}{10}$
7．已知下列四个命题：
①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R且x1≠x2都有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
②函数$f（x）={log_2}（x+\sqrt{1+{x^2}}）$，g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$不都是奇函数；
③若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=-2
④设x1，x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x1x2=1．
其中正确命题的序号是（　　）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
8．为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．
用电量（度）（0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]
户数51510155
（I）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；
（II）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？

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