Question

18．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+bx²-x+2
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为（-$\frac{1}{3}$，1），求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤$\frac{g′（x）}{2}$+1恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g′（x）=3x²+2bx-1，由函数g（x）的单调递减区间为（-$\frac{1}{3}$，1），得到g′（x）=3x²+2bx-1＜0的解集为（-$\frac{1}{3}，1$），由此能求出函数g（x）的解析式．
（Ⅱ）f（x）≤$\frac{{g}^{'}（x）}{2}+1$恒成立，即xlnx≤$\frac{3{x}^{2}+2bx+1}{2}$在x∈（0，+∞）上恒成立，从而得到b≥lnx-$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，令h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，则h′（x）=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$，由此能求出实数b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数g（x）=x³+bx²-x+2，
∴g′（x）=3x²+2bx-1，
∵函数g（x）的单调递减区间为（-$\frac{1}{3}$，1），
∴g′（x）=3x²+2bx-1＜0的解集为（-$\frac{1}{3}，1$），
∴3x²+2bx-1=0的两个根分别为-$\frac{1}{3}$，1，
∴$\frac{1}{3}+1=-\frac{2b}{3}$，解得b=-1，
∴g（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅱ）∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f（x）≤$\frac{{g}^{'}（x）}{2}+1$恒成立，即xlnx≤$\frac{3{x}^{2}+2bx+1}{2}$在x∈（0，+∞）上恒成立，
解得b≥lnx-$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，则${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1或x=-$\frac{1}{3}$（舍），
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=h（1）=-2，
∴b≥-2，
∴实数b的取值范围是（-2，+∞）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．