Question

设直线l：y=kx+m与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，M、N是直线l上两点且，曲线C过点M、N．
（1）若曲线C的方程是x²+y²=20，求直线l的方程；
（2）若曲线C是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆且离心率，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由直线l：y=kx+m与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点可知直线过第I、II、IV象限，则直线的斜率小于0，截距大于0，又由，所以M，N为线段AB的两个三等分点．
（1）若曲线C的方程是x²+y²=20过M、N两点，则M，N两个点都在圆上，满足圆的方程，代入后，易得直线l的方程；
（2）若曲线C是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆且离心率，则将M，N两个点的坐标代入后，易得直线l斜率的不等式，解不等式后可能得到直线l斜率的取值范围．
解答：解：（1）由题意k＜0，m＞0
代入圆的方程有
解得k=-1，m=6（6分）
∴直线l的方程为y=-x+6
（2）设椭圆的方程为：
将点代入椭圆方程得：

消去m得：
∵又k＜0，
∴．
点评：解答本题的关键是根据已知条件，分析出直线l的斜率及截距的范围，即：
由直线l与x轴、y轴正半轴有交点，则直线过第I、II、IV象限，则直线的斜率小于0，截距大于0；
由直线l与x轴、y轴负半轴有交点，则直线过第II、III、IV象限，则直线的斜率小于0，截距小于0；
由直线l与x轴负半轴、y轴正半轴有交点，则直线过第I、II、III象限，则直线的斜率大于0，截距大于0；
由直线l与x轴正半轴、y轴负半轴有交点，则直线过第I、II、IV象限，则直线的斜率大于0，截距小于0；