Question

如图，在面积为4的正方形ABCD中，连接各边中点得正方形A₁B₁C₁D₁，此时正方形A₁B₁C₁D₁的面积记作a₁；再连接正方形A₁B₁C₁D₁各边中点得正方形A₂B₂C₂D₂，此时正方形A₂B₂C₂D₂的面积记作a₂；…；如此继续下去，得到一个数列{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=n•2ⁿ+1，c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，从第2个正方形A₁B₁C₁D₁起，每一个正方形的面积均为上一个正方形面积的

1

2

，从而{a_n}构成等比数列，根据通项公式可求得a_n；
（Ⅱ）易求c_n，分组求和即可，其中一个为等差数列求和，另一个为等比数列求和；

解答：解：（Ⅰ）因为从第2个正方形A₁B₁C₁D₁起，每一个正方形的面积均为上一个正方形面积的

1

2

，
所以数列{a_n}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列．
故a_n=2×（

1

2

）^n-1=（

1

2

）^n-2；
（Ⅱ）∵b_n=n•2ⁿ+1，a_n=（

1

2

）^n-2；
∴c_n=a_nb_n=（

1

2

）^n-2（n•2ⁿ+1）=4n+（

1

2

）^n-2，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=[4×1+（

1

2

）^-1]+[4×2+（

1

2

）⁰]+…+[4n+（

1

2

）^n-2]
=4（1+2+…+n）+[（

1

2

）^-1+（

1

2

）⁰+…+（

1

2

）^n-2]
=2n（n+1）+

( 1 2 )-1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=2n（n+1）+4-（

1

2

）^n-2．

点评：本题考查等差数列等比数列的通项公式及数列求和公式，考查学生的运算求解能力，熟记相关公式是解决问题的基础．