Question

3．已知椭圆经过点P（0，1），Q（2，0）．
（1）求椭圆的标准方程，并求出椭圆的长轴长、短轴长
（2）当直线l：y=x+m与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的标准方程，求出a，b然后写出标准方程，求出长轴长与短轴长．
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用判别式求解m的范围即可．

解答 解：（1）椭圆经过点P（0，1），Q（2，0）．所求椭圆是标准方程，
所以a=2，b=1，椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$     
椭圆的长轴长4．短轴长 2．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
直线l：y=x+m与该椭圆有公共点时，
则△=64m²-80（m²-1）≥0，得-$\sqrt{5}$≤m≤$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程的求法，考查计算能力．