Question

9．已知等比数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a₁，a₂，a₃-$\frac{1}{8}$成等差数列，公比q∈（0，1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用a₁，a₂，a₃-$\frac{1}{8}$成等差数列．建立等量关系式，求出通项公式．；
（2）写出数列{b_n}的通项公式，然后写出前n项和的表达式通过错位相减法求解即可．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}公比为q，
∵${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_1}，{a_2}，{a_3}-\frac{1}{8}$成等差数列，
∴$2{a_2}={a_1}+{a_3}-\frac{1}{8}$，即$2{a_1}q={a_1}+{a_1}{q^2}-\frac{1}{8}$，
整理得4q²-8q+3=0，
解得$q=\frac{1}{2}$或$q=\frac{3}{2}$．
又∵q∈（0，1），
∴$q=\frac{1}{2}$，
∴${a_n}=\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}=\frac{1}{2^n}$．
（2）根据题意得b_n=2na_n=$\frac{2n}{2^n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，${S_n}=1+1+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-2}}}}+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，①
$2{S_n}=2+2+\frac{3}{2}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-3}}}}+\frac{n}{{{2^{n-2}}}}$，②
②-①得：${S_n}=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}…+\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$
=$2+（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}…+\frac{1}{{{2^{n-2}}}}）-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$
=$2+\frac{{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$
=$4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的前n项和的应用，属于基础题型．