Question

若双曲线

x2

3

-

16y2

p2

=1的渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线相交于A，B两点，且△OAB（O为原点）为等边三角形，则p的值为

 

．

Answer 1

分析：求出双曲线

x2

3

-

16y2

p2

=1的渐近线方程与抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由△OAB（O为原点）为等边三角形，可得出点A，B到x轴的距离恰为原点到抛物线的准线距离的

3

3

倍，由此方程求出p的值

解答：解：∵双曲线

x2

3

-

16y2

p2

=1
∴综的渐近线方程是y=±

p

4 3

 x
又抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-

p

2

故A，B两点的纵坐标分别是y=±

p 2

8 3

又△OAB（O为原点）为等边三角形，x轴是角AOB的角平分线
∴

p 2

8 3

×

3

=

p

2

，得p=4
故答案为4

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，再由△OAB（O为原点）为等边三角形建立关于参数的方程求参数，本题有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错