Question

20．已知数列{a_n}满足${a_n}•{a_{n+1}}=\frac{n}{n+2}，（n∈{N^*}）$，${a_1}=\frac{1}{2}$．
（1）求a₂，a₃，a₄值；
（2）归纳猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，逐步求解数列的前几项即可．
（2）猜想通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．

解答 解：（1）数列{a_n}满足${a_n}•{a_{n+1}}=\frac{n}{n+2}，（n∈{N^*}）$，${a_1}=\frac{1}{2}$．n=1，2，3时计算得${a_2}=\frac{2}{3}，{a_3}=\frac{3}{4}，{a_4}=\frac{4}{5}$…（3分）
（2）猜想${a_n}=\frac{n}{n+1}$…（5分）
证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；…（7分）
②假设当n=k（k∈N⁺）时猜想成立，即${a_k}=\frac{k}{k+1}$成立，…（8分）
则当n=k+1时，${a_{k+1}}=\frac{k}{k+2}•\frac{1}{a_k}=\frac{k}{k+2}•\frac{k+1}{k}=\frac{k+1}{（k+1）+1}$，
即n=k+1时猜想成立…（11分）
由①②得对任意n∈N^*，有${a_n}=\frac{n}{n+1}$…（12分）

点评 本题考查数列的应用，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．