Question

7．记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上一点，记$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{D}_{1}B}$，当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为（　　）

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 由题意，以$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{{DD}_{1}}$为单位正交基底建立空间直角坐标系，利用坐标表示求出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PC}$，由∠APC为钝角等价于$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$＜0，得出关于λ的不等式，求出解集即可．

解答 解：由题意知，以$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{{DD}_{1}}$为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）；
由$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（1，1，-1），得$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（λ，λ，-λ），
所以$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{{PD}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1），
$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{{PD}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1），
显然∠APC不是平角，
所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PC}$＞=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PA}|×|\overrightarrow{PC}|}$，
则等价于$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$＜0；
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，
解得$\frac{1}{3}$＜λ＜1；
因此，λ的取值范围是（$\frac{1}{3}$，1）．
故选：B．

点评 本题考查了用空间向量求直线间的夹角，以及一元二次不等式的解法问题，属于基础题．