Question

10．在区间[$\frac{1}{2}$，2]上，函数f（x）=-x²+px+q与g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在同一点取得相同的最大值，求f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值．

Answer 1

分析 先根据均值不等式可知g（x）在x=1时，g（x）取最大值，然后根据题意可知f（x）在x=1时取最大值，建立等式关系，求出p和q，从而求出f（x）在该区间上的最小值．

解答 解：对于g（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$在[$\frac{1}{2}$，1]递增，在（1，2]递减，
可得x=1时，g（x）的最大值为$\frac{1}{2}$；
则f（x）在x=1时取最大值$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{p}{2}$=1，$\frac{-4q-{p}^{2}}{-4}$=$\frac{1}{2}$，
∴p=2，q=-$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=-x²+2x-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在该区间上的最小值为f（2）=-4+4-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了对勾函数的最值，以及二次函数在闭区间的最值，属于中档题．