Question

16．过点P（1，2）作直线l与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
（1）△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）求|PA|•|PB|的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设AB的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=1，利用基本不等式算出ab≥8，可得当且仅当a=2且b=4时，△AOB的面积S有最小值为4，进而算出此时的直线l方程；
（2）求出|PA|，|PB|，利用二倍角的正弦公式算出|PA|•|PB|，由正弦函数的值域可得直线斜率为-1，利用点斜式方程列式，化简可得直线l的方程．

解答 解：（1）设直线AB的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），
∵点P（1，2）在直线上，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=1，
由基本不等式1=$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，当且仅当a=2且b=4时，等号成立，
∴ab≥8，可得△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$ab≥4，
因此△AOB的面积S的最小值为4，
此时的直线方程为$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}$=1，即2x+y-4=0；
（2）设直线的倾斜角为θ，则|PA|=$\frac{2}{sin（π-θ）}$=$\frac{2}{sinθ}$，|PB|=$\frac{1}{cos（π-θ）}$=-$\frac{1}{cosθ}$，
∴|PA|•|PB|=-$\frac{4}{sin2θ}$
当2θ=$\frac{3}{2}$π，即θ=$\frac{3}{4}π$时，|PA|•|PB|取最小值4，
此时，直线的斜率为-1，
直线l的方程为y-2=-1（x-1），化为一般式可得x+y-3=0．

点评 本题给出直线经过定点，求满足特殊条件的直线方程，着重考查了直线的基本量与基本形式、三角形面积的计算和基本不等式求最值等知识，属于中档题．