Question

17．已知函数f（x）=x³-2x²-4x-7，其导函数为f′（x），判断下列选项正确的是（　　）

• A． f（x）的单调减区间是（$\frac{2}{3}$，2）
• B． f（x）的极小值是-15
• C． 当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＜f（a）+f′（a）（x-a）
• D． 函数f（x）有且只有两个零点

Answer 1

分析 求导数，确定函数的单调性，可得函数的极值，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴f′（x）=3x²-4x-4=3（x+$\frac{2}{3}$）（x-2），
令f′（x）＜0，得-$\frac{1}{3}$＜x＜2，f（x）的单调减区间是（-$\frac{2}{3}$，2），
f′（x）＞0，得x＜-$\frac{1}{3}$或x＞2，f（x）的单调增区间是（-∞，-$\frac{2}{3}$），（2，+∞），
∴f（x）的极小值是f（2）=-15，函数f（x）有3个零点，故A不正确，B正确，D不正确；
函数在（2，+∞）上单调递增，当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），故C不正确；
故选B．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，属于中档题．