Question

11．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{{（n+2）a_n^2-n{a_n}+n+1}}{a_n^2+1}$（n∈N₊），且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜测a_n，并用数学归纳法证明；
（2）若n≥4，试比较3^a_n与（n-1）•2ⁿ+2n²的大小，并给出证明过程．

Answer 1

分析 （1）代入递推式计算a₂，a₃，a₄，根据计算结果猜想通项公式；
（2）根据特殊值比较大小，利用数学归纳法证明．

解答 解：（1）a₂=$\frac{3×{1}^{2}-1+1+1}{2}$=2，
a₃=$\frac{4×{2}^{2}-2×2+2+1}{5}$=3，
a₄=$\frac{5×{3}^{2}-3×3+3+1}{10}$=4，
猜想：a_n=n．
证明：当n=1时，a₁=1成立
假设n=k（k≥1）时，a_k=k成立
则当n=k+1时，${a_{k+1}}=\frac{{（k+2）a_k^2-k{a_k}+k+1}}{{{a_k}^2+1}}=\frac{{（k+2）{k^2}-k•k+k+1}}{{{k^2}+1}}=k+1$也成立
所以，${a_n}=n（n∈{N^*}）$成立．
（2）猜想：当n≥4时，3${\;}^{{a}_{n}}$＞（n-1）•2ⁿ+2n²，
下面用数学归纳法证明：
n=4时，左边=3${\;}^{{a}_{4}}$=3⁴=81，右边=3•2⁴+2•4²=80，左边＞右边，故结论成立；
假设当n=k（k≥4）时结论成立，即3^k＞（k-1）•2^k+2k²，
两边同乘以3得：3^k+1＞3（k-1）•2^k+6k²=k•2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]，
∵k≥4时，（k-3）2^k＞0，4k²-4k-2=（2k-1）²-3≥46＞0，
∴（k-3）2^k+4k²-4k-2＞0，
∴3^k+1＞k•2^k+1+2（k+1）²，
即n=k+1时结论也成立．
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）•2ⁿ+2n²成立．

点评 本题考查了数学归纳法的证明，掌握证明步骤，根据式子特点由n=k转化推导n=k+1是证明的关键．