Question

已知函数f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函数（a，b，c为常数）
（1）求实数c的值；
（2）若a，b∈N^*，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；
（3）对于（2）中的f（x），若f（x）=m有正数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意得

ax2+1

-bx+c

+

ax2+1

bx+c

=0恒成立，从而解得；
（2）由题意得f（1）=

a+1

b

=2，f（2）=

4a+1

2b

＜3；从而解得；
（3）由题意得

x2+1

x

=m有正数解，从而解得．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
即

ax2+1

-bx+c

+

ax2+1

bx+c

=0，
解得，c=0；

（2）由题意，f（1）=

a+1

b

=2，f（2）=

4a+1

2b

＜3；
又∵若a，b∈N^*，
解得，a=1，b=1；
故f（x）=

x2+1

x

；

（3）由题意，

x2+1

x

=m有正数解，
而

x2+1

x

≥2，
故m≥2．

点评：本题考查了函数的性质应用，同时考查了基本不等式的应用，属于基础题．