Question

8．如图，设正棱锥S-ABC的体积为6，E，F和G分别是SA、AB和BC的中点，已知二面角E-FG-A的平面角为60°，求SA．

Answer 1

分析 设0点为定点S在底面ABC内的射影，由S-ABC是正三棱锥，构造出二面角的平面角，再根据体积公式，即可求出答案．

解答 解：设0点为定点S在底面ABC内的射影，由S-ABC是正三棱锥，
所以0为△ABC的中心，A，O，G在一条直线上，且E在底面上的射影H也在AG上，
设M是AC的中心，由于AB=BC，SA=SC，从而AC⊥BM，AC⊥SM，
所以AC⊥SB，
又EF∥AB，FG∥AC，于是得EF⊥FG，
再由FG⊥EH，可得FG⊥HF，
所以∠EFH是二面角E-FG-A的平面角，
所以∠EFH=60°，
记为a，SA=m，则AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，SO=$\sqrt{{m}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$，
EH=$\frac{1}{2}$SO=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{m}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$，EF=$\frac{1}{2}$SB=$\frac{1}{2}$SA=$\frac{1}{2}$m，
由此得sinα=$\frac{EH}{EF}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}}{m}$，即a=$\sqrt{3}$mcosα，
三棱锥的体积V=$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²$\sqrt{{m}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$m³cos²αsinα，
所以m=$\root{3}{\frac{4\sqrt{3}v}{3sinαco{s}^{2}α}}$，
由V=6，α=60°，从而m=sa=4．

点评 本题考查了二面角的平面的求法，以及三棱锥的体积公式，培养了学生的转化能力，推理能力，属于难题．