Question

设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.

（Ⅰ）求椭圆的方程；  

（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：由点和关于点对称，得，       ……………… 1分

  所以椭圆E的焦点为，，                     ……………… 2分

      由椭圆定义，得 .

  所以 ，.                             ……………… 4分

  故椭圆E的方程为.                              ……………… 5分

（II）解：结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分.    ……………… 6分

      理由如下：

      由题可知直线，直线PQ的斜率存在，

      设直线的方程为，直线PQ的方程为. …………… 7分

      由   消去，

      得，                        ……………… 8分

      由题意，可知 ，设，，

      则，，                      ……………… 9分

      由消去,

  得，

      由，可知 ，设，又，

      则，.                ……………… 10分

      若四边形的对角线互相平分，则与的中点重合，

      所以，即，                    ……………… 11分

      故.                             ……………… 12分

       所以 .解得 .

       所以直线为时， 四边形的对角线互相平分.  ……… 14分

      （注：利用四边形为平行四边形，则有，也可解决问题）