Question

12．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）=$\frac{2S}{{{a^2}-{c^2}}}$．
（Ⅰ）证明：A=2C；
（Ⅱ）若b=2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$sin（B+C）=\frac{2S}{{{a^2}-{c^2}}}$，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：$sinA=\frac{2S}{{{a^2}-{c^2}}}$，利用三角形面积计算公式可得：a²-c²=bc，再利用余弦定理与正弦定理可得：sinB-2sinCcosA=sinC，再利用三角形内角和定理与诱导公式即可证明．
（II）A=2C，可得：sinB=sin3C．利用正弦定理与已知可得：$a=\frac{2sin2C}{sin3C}$，利用三角形面积计算公式可得：S=$\frac{4}{\frac{3}{tanC}-tanC}$，利用C的取值范围与函数的单调性即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：由$sin（B+C）=\frac{2S}{{{a^2}-{c^2}}}$，即$sinA=\frac{2S}{{{a^2}-{c^2}}}$，
∴$sinA=\frac{bcsinA}{{{a^2}-{c^2}}}$，sinA≠0，∴a²-c²=bc，
∵a²=b²+c²-2bccosA，∴a²-c²=b²-2bccosA，
∴b²-2bccosA=bc，∴b-2ccosA=c，
∴sinB-2sinCcosA=sinC，
∴sin（A+C）-2sinCcosA=sinC，∴sinAcosC-cosAsinC=sinC，
∴sin（A-C）=sinC，
∵A，B，C∈（0，π），∴A=2C．
（Ⅱ）解：∵A=2C，∴B=π-3C，
∴sinB=sin3C．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$且b=2，
∴$a=\frac{2sin2C}{sin3C}$，
∴$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{2sin2CsinC}{sin（2C+C）}$=$\frac{2sin2CsinC}{sin2CcosC+cos2CsinC}$=$\frac{2tan2CtanC}{tan2C+tanC}=\frac{4tanC}{{3-{{tan}^2}C}}=\frac{4}{{\frac{3}{tanC}-tanC}}$，
∵△ABC为锐角三角形，∴$\left\{{\begin{array}{l}{A=2C∈（0，\frac{π}{2}）}\\{B=π-3C∈（0，\frac{π}{2}）}\\{C∈（0，\frac{π}{2}）}\end{array}}\right.$，
∴$C∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$，∴$tanC∈（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$，
∵$S=\frac{4}{{\frac{3}{tanC}-tanC}}$为增函数，
∴$S∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，2）$．

点评 本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、三角形面积计算公式、三角形内角和定理、诱导公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．