Question

12．设常数a∈R，函数f（x）=（a-x）|x|．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx²+m＞f[f（x）]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1时，便可得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（1-x）x}&{x≥0}\\{（x-1）x}&{x＜0}\end{array}\right.$，从而可根据二次函数的单调性，即可分别求出x≥0和x＜0时f（x）的单调区间，从而得出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）可由f（x）为奇函数得到a=0，从而得到f（x）=-x|x|，进一步求得f[f（x）]=x³|x|，从而可由mx²+m＞f[f（x）]得到$m＞\frac{{x}^{3}|x|}{{x}^{2}+1}$对于任意x∈[-2，2]恒成立，可由x∈[-2，2]得出$\frac{{x}^{3}|x|}{{x}^{2}+1}≤\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}+1}=（{x}^{2}+1）+\frac{1}{{x}^{2}+1}-2≤\frac{16}{5}$，这样便可得出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=（1-x）|x|=\left\{\begin{array}{l}（1-x）x，x≥0\\（x-1）x，x＜0\end{array}\right.$；
当x≥0时，$f（x）=（1-x）x=-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}$，∴f（x）在$[0，\frac{1}{2}]$内是增函数，在$（\frac{1}{2}，+∞）$内是减函数；
当x＜0时，$f（x）=（x-1）x={（x-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，∴f（x）在（-∞，0）内是减函数；
综上可知，f（x）的单调增区间为$[0，\frac{1}{2}]$，单调减区间为（-∞，0），$（\frac{1}{2}，+∞）$；
（Ⅱ）∵f（x）是奇函数，∴f（-1）=-f（1）；
即（a+1）•1=-（a-1）•1；
解得a=0；
∴f（x）=-x|x|，f[f（x）]=x³|x|；
∴mx²+m＞f[f（x）]=x³|x|，即$m＞\frac{{{x^3}|x|}}{{{x^2}+1}}$对所有的x∈[-2，2]恒成立；
∵x∈[-2，2]，∴x²+1∈[1，5]；
∴$\frac{{{x^3}|x|}}{{{x^2}+1}}≤\frac{x^4}{{{x^2}+1}}=\frac{{{x^4}-1+1}}{{{x^2}+1}}={x^2}+1+\frac{1}{{{x^2}+1}}-2≤\frac{16}{5}$；
∴$m＞\frac{16}{5}$；
∴实数m的取值范围为$（\frac{16}{5}，+∞）$．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数和分段函数单调性的判断，奇函数的定义，可由f（x）解析式求f[f（x）]的解析式，以及分离常数法的运用，要能够根据基本不等式判断函数$y=x+\frac{1}{x}$的单调性．