Question

4．已知函数f（x）=2m²x²+4mx-3lnx，其中m∈R
（1）若x=1是f（x）的极值点，求m的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出m的值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，得到函数的单调区间，从而判断函数的极值即可．

解答 解：（1）f′（x）=4m²x+4m-$\frac{3}{x}$，
若x=1是f（x）的极值点，
则f′（1）=4m²+4m-3=0，
解得：m=-$\frac{3}{2}$或m=$\frac{1}{2}$；
（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（2mx+3）（2mx-1）}{x}$，
当m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2m}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2m}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2m}$）递减，在（$\frac{1}{2m}$，+∞）递增，
f（x）的极小值为f（$\frac{1}{2m}$）=$\frac{5}{2}$+3ln（2m）；无极大值．
当m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{3}{2m}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜-$\frac{3}{2m}$，
故f（x）在（0，-$\frac{3}{2m}$）递减，在（-$\frac{3}{2m}$，+∞）递增，
故f（x）的极小值为f（-$\frac{3}{2m}$）=-$\frac{3}{2}$-3ln（-$\frac{3}{2m}$）；无极大值．
当m=0时，f′（x）＜0，减区间为（0，+∞），无增区间和极值．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．