Question

17．已知点P在曲线y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$（其中e为自然对数的底数）上运动，则曲线在点P处的切线斜率最小时的切线方程为y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设出切点P（m，n），求得函数的导数，可得切线的斜率，运用基本不等式可得斜率的最小值和切点，由斜截式方程即可得到所求切线的方程．

解答 解：设P（m，n），y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$的导数为y′=-$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$，
可得曲线在点P处的切线斜率为k=-$\frac{{e}^{m}}{（{e}^{m}+1）^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{m}+{e}^{-m}+2}$，
由e^m+e^-m≥2$\sqrt{{e}^{m}•{e}^{-m}}$=2，当且仅当m=0时等号取得．
即有切线的斜率的最小值为-$\frac{1}{4}$，此时切点为（0，$\frac{1}{2}$），
可得切线的方程为y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$．
故答案为：y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，同时考查基本不等式的运用，正确求导是解题的关键，属于中档题．