Question

若△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，试用综合法和分析法证明

c

a+b

+

a

b+c

=1．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：分析法,综合法

分析：求出角A，B，C的度数，再利用三角形的余弦定理，即可求解．

解答：证明：（分析法）
要证明

c

a+b

+

a

b+c

=1，
只需证明c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），即证b²=a²+c²-ac．
∵A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B；
又A+B+C=180°，
∴B=60°．
由余弦定理可知：
b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-ac．
综上可知，

c

a+b

+

a

b+c

=1．

证明：（综合法）
∵A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B，
又A+B+C=180°，
∴B=60°．
由余弦定理可知：
b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-ac，
∴a²+c²=b²+ac，
∴

c

a+b

+

a

b+c

=

c•(b+c)+a•(a+b)

(a+b)(b+c)

=

a2+c2+ab+bc

b2+ab+ac+bc

=

b2+ab+ac+bc

b2+ab+ac+bc

=1．
综上可知，

c

a+b

+

a

b+c

=1．

点评：本题主要考察了数学方法中的综合法与分析法，以及三角形的余弦定理，属于中档题．