Question

15．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．
（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；
（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是
75作为代表），试估计该校高一学生历史成绩的众数，中位数和平均分．

Answer 1

分析 （1）利用频率分布直方图中利用纵坐标乘以组距求出第四组的频率，利用频率乘以样本容量求出频数，利用等比数列的中项列出方程求出第五、六组的频数．
（2）由频率分步直方图知用每组的中间值作为每组中的样本数据，直接计算平均成绩，根据中位数的左右两边矩形面积相等，来求中位数，众数就是分布图里最高的那条，即[60，70]的中点横坐标65．

解答 解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y，由题设得，第四组的频数是0.024×10×50=12，
则x²=12y，
又x+y=50-（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50，即x+y=9，
∴x=6，可得：y=3．
补全频率分布直方图如下：

（2）该校高一学生历史成绩的平均分$\overline{x}$=（45×0.012+55×0.016+65×0.030+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6，
由0.12+0.16=0.28，0.12+0.16+0.3=0.58，
可知中位数在第三小组内，设这次考试的中位数为x，
则0.12+0.16+0.030（x-60）=0.5，解得x=67.3，故中位数为67.3．
众数就是分布图里最高的那条，即[60，70]的中点横坐标65，故众数为65，

点评 本题主要考查了频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，同时考查了作图能力，从频率分布直方图中获取的相关的数据，并正确的处理解答本题的关键．属于中档题．