Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=$\frac{π}{3}$．
（1）若△ABC的面积等于$\sqrt{3}$，求a，b；
（2）求$\frac{b}{2}$+a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由c=2，C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理可得：a²+b²-ab=4，根据三角形的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$，联立方程组解出即可得出．
（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：（1）∵c=2，C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：a²+b²-ab=4，
∵$S=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$，
∴ab=4，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{b^2}-ab=4\\ ab=4\end{array}\right.$，解得a=2，b=2．
（2）由题意$2R=\frac{c}{sinC}=\frac{4}{{\sqrt{3}}}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
则$\frac{b}{2}+a=2R（{\frac{sinB}{2}+sinA}）=2R（{\frac{sinB}{2}+sin（{B+\frac{π}{3}}）}）$
=$2R\frac{{\sqrt{7}}}{2}sin（B+φ）=\frac{{2\sqrt{21}}}{3}sin（B+φ）$，（其中$tanφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ ），
当sin（B+φ）=1 时，$\frac{b}{2}+a$ 的最大值为$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．