Question

15．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a$=（1，2）．
（1）若|${\overrightarrow c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，求$\overrightarrow c$的坐标
（2）若|${\overrightarrow b}$|=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow c=（{λ，2λ}）$，利用向量平行得到坐标的关系方程解之即可；
（2）利用向量垂直，数量积为0，得到$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的数量积，再由数量积公式求夹角．

解答 解：（1）设∵$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，∴设$\overrightarrow c=（{λ，2λ}）$…（1分）
又∵$|{\overrightarrow c}|=2\sqrt{5}$，∴5λ²=20，即λ=±2…（2分）
$\overrightarrow c=（{2，4}）$或$\overrightarrow c=（{-2，-4}）$…（4分）
（2）$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）={\overrightarrow a^2}-2{\overrightarrow b^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$…（5分）
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{5}{2}$…（6分）
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|}}=\frac{{-\frac{5}{2}}}{{\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{2}}}=-1$…（7分）
∴θ=π…（8分）

点评 本题考查了平面向量平行和垂直的坐标运算，属于基础题．