题目内容
垂直于直线2x+6y+1=0且与曲线y=x3+3x-5相切的直线方程是 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：求出y=x3+3x-5的导数，由直线2x+6y+1=0得到与其垂直的切线的斜率，代入后求得切点横坐标，进一步求得切点纵坐标，则切线方程可求．
解答：
解：∵y=x3+3x-5，
∴y′=3x2+3，
又∵直线2x+6y+1=0的斜率为-
，
∴所求直线的斜率为3，
当y'=3时，得x=0，
当x=0时y=-5，
∴切点的坐标为（0，-5）
∴垂直于直线2x+6y+1=0且与曲线y=x3+3x-5相切的直线的方程为y=3x-5．
故答案为：y=3x-5．
∴y′=3x2+3，
又∵直线2x+6y+1=0的斜率为-
| 1 |
| 3 |
∴所求直线的斜率为3，
当y'=3时，得x=0，
当x=0时y=-5，
∴切点的坐标为（0，-5）
∴垂直于直线2x+6y+1=0且与曲线y=x3+3x-5相切的直线的方程为y=3x-5．
故答案为：y=3x-5．
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．
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