Question

1．已知命题p：?x₀∈R，有x₀²=-1；命题q：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），有x＞sinx．则下列命题是真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． p∨（￢q）
• C． p∧（￢q）
• D． （￢p）∧q

Answer 1

分析 根据实数的性质，可判断p，构造函数f（x）=x-sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$），利用导数法，判断出f（x）＞f（0）=0恒成立，可判断q，进而可得结论．

解答 解：x∈R时，x²≥0恒成立，
故命题p：?x₀∈R，有x₀²=-1为假命题，
令f（x）=x-sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$），则f′（x）=1-cosx＞0恒成立，
故f（x）=x-sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0恒成立，
即命题q：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），有x＞sinx，为真命题，
故命题p∧q，p∨（￢q），p∧（￢q）为假命题，
命题（￢p）∧q为真命题，
故选：D

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，全称命题，难度中档．