Question

2．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处取得极值，且在x=-1处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）若x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），因为函数在x=1处取得极值，在x=-1处的切线斜率为2，联立方程组解得a与b的值，然后把a、b的值．
（2）判断函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{f′（-1）=3-2a+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
（2）由（1）可得：f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-∞，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-$\frac{2}{3}$）和（1，+∞），递减区间是（-$\frac{2}{3}$，1）．
函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，x∈[-1，2]，
当x=-$\frac{2}{3}$时，f（x）=$\frac{22}{27}$+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c²对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．

点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．