Question

设S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且S_n=

1

3

a

2 n

+

1

2

a_n．
（1）求a_n；
（2）设

bn

=

3

4an+3

（n∈N₊），且数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与

1

4

的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=

3

2

，a_n-a_n-1=

3

2

，数列{a_n}为等差数列．由此能求出a_n=

3

2

n．
（2）由b_n=

1

(2n+1)2

=

1

4n2+4n+1

＜

1

4n2+4n

＜

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），能推导出T_n＜

1

4

．

解答： 解：（1）由已知可得a₁=

1

3

a

2 1

+

1

2

a₁，a₁＞0，所以a₁=

3

2

．
当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1=

1

3

a

2 n

+

1

2

a_n-（

1

3

a

2 n-1

+

1

2

a_n-1）
=

1

3

（

a

2 n

-

a

2 n-1

）+

1

2

（a_n-a_n-1），
∴（

a

n

+a_n-1）（a_n-a_n-1-

3

2

）=0，
又a_n＞0，所以有a_n-a_n-1=

3

2

，
数列{a_n}为等差数列．
所以a_n=

3

2

n.6分
（2）由（1）可知b_n=

1

(2n+1)2

=

1

4n2+4n+1

＜

1

4n2+4n

＜

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
所以有T_n=b₁+b₂+…+b_n＜

1

4

[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

.12分．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查两式大小的比较，解题时要注意裂项求和法的合理运用．