Question

8．已知函数f（x）=2acosx（${\sqrt{3}$sinx+cosx）+a²，其中a为常数且a＞0．
（Ⅰ）若对于任意x∈R都有f（x）＜4恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（-$\frac{π}{6}}$）=4，求关于x的不等式f（x）＞8的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数f（x），利用三角函数的有界性得出关于a的不等式，求不等式的解集即可；
（Ⅱ）根据f（-$\frac{π}{6}$）的值求出a，利用三角函数的图象与性质即可求出不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2acosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+a²
=2$\sqrt{3}$asinxcosx+2acos²x+a²
=a（$\sqrt{3}$sin2x+1+cos2x）+a²
=2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+a²，
∵-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，a＞0，
∴2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+a²≤2a+a=a²+3a＜4，
即a²+3a-4＜0，
解得-4＜a＜1；
又a＞0，所以a∈（0，1）；
（Ⅱ）∵f（-$\frac{π}{6}$）=2asin[2×（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+a+a²=a²=4，
且a＞0，∴a=2，
∴f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）+6；
当f（x）＜8时，4sin（2x+$\frac{π}{6}$）+6＜8，
即sin（2x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{1}{2}$，
所以-$\frac{7π}{6}$+2kπ＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z．
解得-$\frac{2π}{3}$+kπ＜x＜kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为{ x|-$\frac{2π}{3}$+kπ＜x＜kπ，k∈Z}．

点评 本题考查了三角函数的化简与不等式的解法应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．