在数列{an}中.a1=2.an=an-1+ln则{an}=( )A．2+nlnnB．2+(n-1)lnnC．2+lnnD．1+n+lnn 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

17．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+ln（1+$\frac{1}{n-1}$）（n≥2）则{a_n}=（　　）

A．

2+nlnn

B．

2+（n-1）lnn

C．

2+lnn

D．

1+n+lnn

分析根据条件，${a}_{n}={a}_{n-1}+ln（1+\frac{1}{n-1}）={a}_{n-1}+lnn-ln（n-1）$，即a_n-lnn=a_n-1-ln（n-1），故{a_n-lnn}是常数数列，所以a_n-lnn=a₁-ln1=2，即a_n=2+lnn．

解答解：∵${a}_{n}={a}_{n-1}+ln（1+\frac{1}{n-1}）$=${a}_{n-1}+ln\frac{n}{n-1}$，（n≥2）
∴a_n=a_n-1+lnn-ln（n-1），（n≥2）
∴a_n-lnn=a_n-1-ln（n-1），（n≥2）
∴{a_n-lnn}是常数数列，
∴a_n-lnn=a₁-ln1=2，
∴a_n=2+lnn．
故选：C

点评本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质，属于基础题．

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