Question

14．已知集合A={x|x²+2x-3＞0}，集合B={x|x²-2ax-1≤0，a＞0}．
（Ⅰ）若a=1，求A∩B；
（Ⅱ）若A∩B中恰含有一个整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=1代入确定出B，求出A与B的交集即可；
（Ⅱ）由A与B中恰含有一个整数，确定出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）A={x|x²+2x-3＞0}={x|x＞1或x＜-3}，
当a=1时，由x²-2x-1≤0，
解得：1-$\sqrt{2}$≤x≤1+$\sqrt{2}$，即B=[1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]，
∴A∩B=（1，1+$\sqrt{2}$]；
（Ⅱ）∵函数y=f（x）=x²-2ax-1的对称轴为x=a＞0，
f（0）=-1＜0，且A∩B中恰含有一个整数，
∴根据对称性可知这个整数为2，
∴f（2）≤0且f（3）＞0，即$\left\{\begin{array}{l}4-4a-1≤0\\ 9-6a-1＞0\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．