Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（ a＞b＞0）的一个焦点（-3，0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为l的直线被椭圆C所截线段得中点坐标．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）求出直线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可得到所求中点坐标．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=3，
可得a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由点（3，0）满足$\frac{9}{12}$+$\frac{0}{3}$＜1，即（3，0）在椭圆内，
设过点（3，0）且斜率为l的直线为y=x-3，
代入椭圆方程，可得5x²-24x+24=0，
显然△=24²-4×5×24＞0，
设所截线段的端点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{24}{5}$，
由中点坐标公式可得所截线段的中点横坐标为
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{12}{5}$，纵坐标为$\frac{12}{5}$-3=-$\frac{3}{5}$．
即有被椭圆C所截线段的中点坐标为（$\frac{12}{5}$，-$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．