Question

7．若z₁=sin2θ+icosθ，z₂=cosθ+i$\sqrt{3}$sinθ，当θ=$\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$时，z₁=z₂．

Answer 1

分析 利用实部等于实部，虚部等于虚部分别求得θ，取交集得答案．

解答 解：∵z₁=sin2θ+icosθ，z₂=cosθ+i$\sqrt{3}$sinθ，且z₁=z₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sin2θ=cosθ①}\\{cosθ=\sqrt{3}sinθ②}\end{array}\right.$，
由①得，2sinθcosθ=cosθ，则cosθ=0或sin$θ=\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$或$θ=\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$或$θ=\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$；
由②得，tan$θ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$θ=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
取交集得：$θ=\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$．
故答案为：$\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$．

点评 本题考查复数相等的条件，考查了已知三角函数值求角，是中档题．