Question

在数列中，，，前项和满足.

（1）求（用表示）；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列：当时，；当时，，记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合；若不能，请说明理由.

Answer 1

解：（1）令，则，将，代入，有，解得

（2）由，得，化简得，

又，数列是等比数列 （3）由，，，又数列是等比数列，，

，当时，依次为，

 

当，，，，要使取整数，需为整数，令，

，要么都为整数，要么都不是整数，

又，当且仅当为奇数时，为整数，即的取值集合为 时，取整数.…