Question

5．已知f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0且a≠1），其中f（1）=2．
（1）求a的值以及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{3}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=2，求出a的值，根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；
（2）令g（x）=（1+x）（3-x），根据二次函数的性质求出g（x）的单调性，从而求出f（x）的单调性，求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）f（1）=log_a（1+1）+log_a（3-1）=2log_a2=2，解得；a=2，
故f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x），
由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜3，
故函数的定义域是（-1，3）；
（2）由（1）得：f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）=log₂（x+1）（3-x），
令g（x）=（1+x）（3-x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，x∈[0，$\frac{3}{2}$]，
g（x）的对称轴是x=1，故g（x）在[0，1）递增，在（1，$\frac{3}{2}$）递减，
故f（x）=log₂g（x）在[0，1）递增，在（1，$\frac{3}{2}$]递减，
故f（x）的最小值是f（0）或f（$\frac{3}{2}$），
而f（0）=log₂3＜f（$\frac{3}{2}$）=log₂$\frac{15}{4}$，
故f（x）的最小值是f（0）=log₂3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及对数函数的性质，是一道中档题．