Question

（2003•上海）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．

（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）

 

Answer 1

（1）33.3米；（2）故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．

【解析】

试题分析：（1）根据题意，建立坐标系，可得P的坐标并设出椭圆的方程，将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得l=2a，计算可得答案；

（2）根据题意，设椭圆方程为，将（11，4.5）代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当ab≥99且l=2a，h=b时，，进而分析可得答案．

【解析】
（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），

椭圆方程为．

将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，

得，

此时此时

因此隧道的拱宽约为33.3米；

（2）由椭圆方程，

根据题意，将（11，4.5）代入方程可得．

因为

即ab≥99且l=2a，h=b，

所以

当S取最小值时，

有，

得，

此时，h=b≈6.4

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．