题目内容
如图，AB是⊙O的切线，B为切点，ADE是⊙O的割线，C是⊙O外一点，且AB=AC，连接BD，BE，CD，CE，CD交⊙O于F，CE交⊙O于G．（1）求证：BE•CD=BD•CE；
（2）求证：FG∥AC．
考点：与圆有关的比例线段,弦切角
专题：直线与圆
分析：（1）由弦切角定理得∠ABD=∠AEB，从而△ABD∽△AEB，进而BD•AE=AB•BE，且
=
，又∠CAD=∠EAC，从而△ADC∽△ACE，由此能证明BE•CD=BD•CE．
（2）△ADC∽△ACE，得∠ACD=∠AEC，由D，F，G，E四点共圆，得∠GFC=∠AEC，由此能证明FG∥AC．
| AC |
| AE |
| AD |
| AC |
（2）△ADC∽△ACE，得∠ACD=∠AEC，由D，F，G，E四点共圆，得∠GFC=∠AEC，由此能证明FG∥AC．
解答：
证明：（1）∵AB是⊙O的切线，∴∠ABD=∠AEB，
又∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB，
∴
=
=
，
又AB=BC，∴BD•AE=AB•BE，①
且
=
，又∠CAD=∠EAC，∴△ADC∽△ACE，
∴
=
，即DC•AE=AC•CE．②
由①②，得BE•CD=BD•CE．
（2）∵△ADC∽△ACE，∴∠ACD=∠AEC，
又D，F，G，E四点共圆，∴∠GFC=∠AEC，
∴∠GFC=∠ACD，
∴FG∥AC．
又∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB，
∴
| BD |
| BE |
| AB |
| AE |
| AD |
| AB |
又AB=BC，∴BD•AE=AB•BE，①
且
| AC |
| AE |
| AD |
| AC |
∴
| DC |
| CE |
| AC |
| AE |
由①②，得BE•CD=BD•CE．
（2）∵△ADC∽△ACE，∴∠ACD=∠AEC，
又D，F，G，E四点共圆，∴∠GFC=∠AEC，
∴∠GFC=∠ACD，
∴FG∥AC．
点评：本题考查两线段乘积相等的证明，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要注意弦切角定理、三角形相似、四点共圆等知识点的合理运用．
练习册系列答案
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