Question

已知定义在区间上的函数y=f（x）的图象关于直线对称，当时，函数，其图象如图所示
（Ⅰ）求函数y=f（x）在的表达式；
（Ⅱ）求方程的解．
（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）-m|＜2在上恒成立；若存在，求出m的取
值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据图象中函数值的最大值判断出A的值，利用函数图象与x轴的交点判断出函数的周期，进而求得ω，把点代入求得φ的值，则当时，函数的解析式可得；进而利用函数图象关于直线对称利用求得[-π，]的函数解析式，最后综合答案可得．
（Ⅱ）分别看和利用（Ⅰ）中函数的解析式，求得x的值．
（Ⅲ）问题可转化为m-2＜f（x）＜m+2在上恒成立，联立方程组利用三角函数的性质求得m的范围．
解答：解：（Ⅰ），，T=2π，ω=1
且f（x）=sin（x+φ）过，
∵
∴
当时，
而函数y=f（x）的图象关于直线对称，则
即，
∴
（Ⅱ）当时，，，或，或
当时，，或-
∴，或为所求．
（Ⅲ）由条件得：m-2＜f（x）＜m+2在上恒成立即，由图象可得：
∴-1＜m＜2
点评：本题主要考查了利用y=Asin（ωx+∅）的部分图象确定函数的解析式．充分利用了三角函数的定义域，值域，对称性，周期性等性质．