Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，侧面PBC是边长为2的等边三角形，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求异面直线PD与AC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若点F在PC边上移动，是否存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90°？若存在，则求出点F坐标，否则说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法即可求异面直线PD与AC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面的法向量，根据平面BFD与平面APC所成的角为90°，建立方程关系进行求解判断即可．

解答 解：（Ⅰ） 因为平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
故AB=BC=AC=PC=PB=2，
取BC中点O，则AO⊥BC，PO⊥BC，PO⊥A
以O为坐标原点，OP为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系，
O（0，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，-1，0），C（0，1，0），P（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，2，$\sqrt{3}$），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
则$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
则|$\overrightarrow{PD}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{AC}$|=2，则$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{AC}$=2-3=-1，
设异面直线PD与AC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{AC}|}$=|$\frac{-1}{2\sqrt{10}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{20}$，
所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{20}$．
（Ⅱ）设存在点F，使平面BFD与平面APC所成的角为90°，
设F（a，b，0），因为P，C，F三点共线，$\overrightarrow{PF}$=（a-$\sqrt{3}$，b，0），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
设$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{PC}$，
则（a-$\sqrt{3}$，b，0）=λ（-$\sqrt{3}$，1，0），
所以a=（1-λ）$\sqrt{3}$，b=λ，则F（（1-λ）$\sqrt{3}$，λ，0），
设平面BFD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{3y+\sqrt{3}z=0}\\{（1-λ）\sqrt{3}x+（λ+1）y=0}\end{array}\right.$
令y=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{m}$=（$\frac{λ+1}{λ-1}$，$\sqrt{3}$，-3），|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{（\frac{λ+1}{λ-1}）^{2}+12}$，
设平面APC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{5}$，
又$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1）•（$\frac{λ+1}{λ-1}$，$\sqrt{3}$，-3）=$\frac{λ+1}{λ-1}$，
若平面BFD与平面APC所成的角为90°，则cos90°=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{λ+1}{λ-1}}{\sqrt{5}•\sqrt{（\frac{λ+1}{λ-1}）^{2}+12}}$=0，
故$\frac{λ+1}{λ-1}$=0，即λ=-1，此时E（2$\sqrt{3}$，-1，0），点F在CP延长线上，
所以，在PC边上不存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90°

点评 本题主要考查异面直线所成的角以及二面角的计算，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．