Question

1．若定义在[-m，m]（m＞0）上的函数f（x）=$\frac{4•a^x+2}{a^x+1}$+xcosx（a＞0，a≠1）的最大值和最小值分别是M、N，则M+N=6．

Answer 1

分析 f（x）可化为3+$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，令g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，则f（x）=g（x）+3，根据函数的奇偶性可得g（x）在[-1，1]上关于原点对称，再根据函数的单调性可得．

解答 解：函数f（x）=$\frac{4•a^x+2}{a^x+1}$+xcosx（-1≤x≤1）
=3+$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，
令g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$+xcosx，
则f（x）=g（x）+3，
因为g（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$-xcos（-x）=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$-xcosx=-g（x），
且x∈[-1，1]，
所以g（x）在[-1，1]上关于原点对称，即为奇函数，
因为f（x）和g（x）单调性相同，
所以f（x）取到最大值M时，相对应的x下的g（x）也取最大值M-3，
同理f（x）有最小值m时，g（x）也取最小值N-3，
g（x）最大值M'=M-3，最小值N'=N-3，
因为g（x）关于坐标原点对称可得
所以（M-3）+（N-3）=0，
所以M+N=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查函数的有关性质，即函数的单调性与函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．