Question

11．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，GE⊥平面ABCD，EF⊥ABCD，E，F分别是边AB、CD中点，AC与BD交于O，EG=FH=2，
（1）求证：AB⊥BH；
（2）求二面角C-OH-F的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BF，说明CD⊥FH，推出CD⊥BF，即可证明CD⊥平面BFH，然后利用菱形性质证明AB⊥BH．
（2）在平面ABCD中，过C作CM⊥EF的延长线于M，过C作CN⊥OH于N，连接MN，说明∠CNM就是二面角C-OH-F的平面角，通过解三角形即可求出，二面角C-OH-F的正弦值．

解答 （本小题满分12分）
（1）证明：连接BF，∵HF⊥面ABCD，∴CD⊥FH，
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，F分别是边CD中点，
∴△BCD是等边三角形，故CD⊥BF，
∴CD⊥平面BFH，
∴CD⊥BH，
∴菱形ABCD中，AB∥CD，
∴AB⊥BH…（4分）
（2）解：在平面ABCD中，过C作CM⊥EF的延长线于M，
在△COH中，过C作CN⊥OH于N，连接MN
∵CM⊥FH，∴CM⊥平面EFHG，
∴OH⊥CM，又CN⊥OH，∴OH⊥平面CMN，
∴MN⊥OH，∴∠CNM就是二面角C-OH-F的平面角…（8分）
∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，
EFHG是正方形，边长为2∴$OC=\sqrt{3}$，∠COM=30°，
∴CO=$\sqrt{3}$，HO=HC=$\sqrt{5}$，
∴$CM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$CN=\frac{{\sqrt{255}}}{10}$，
∴$sin∠CNM=\frac{CM}{CN}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{255}}}{10}}}=\frac{{\sqrt{85}}}{17}$，
∴二面角C-OH-F的正弦值为$\frac{{\sqrt{85}}}{17}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．