Question

7．求下列函数的反函数
（1）y=$\root{3}{3x-5}$；（2）y=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）；（3）y=1+ln（x-1）；（4）y=2sin$\frac{x}{3}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 由已知解析式，用y表示出x，然后把x与y互换，即得反函数，应注意定义域与值域的互换．

解答 解：（1）由y=$\root{3}{3x-5}$得到x=$\frac{{y}^{3}+5}{3}$，把x与y互换可得：y=$\frac{{x}^{3}+5}{3}$，（x∈R）；
（2）由y=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）得到：e^x=y±$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
∵e^x＞0，∴e^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
由此得：x=ln（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）
∴函数y=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）的反函数是y=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（x∈R）；
（3）∵y=1+ln（x-1）
∴x=e^y-1+1（y∈R），
∴函数y=1+ln（x-1）的反函数为y=e^x-1+1（x∈R）；
（4）∵y=2sin$\frac{x}{3}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域为[-1，1]，
x=3arcsin$\frac{y}{2}$，y∈[-1，1]，
∴反函数为：y=3arcsin$\frac{x}{2}$，x∈[-1，1]．

点评 本题考查了反函数的定义与求法问题，是基础题目．