Question

12．设函数f（x）=sinxcosx将 f（x）的图象向右平移$\frac{φ}{2}$（0＜φ＜π） 个单位，得到y=g（x）图象且g（x）的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$．
（1）求φ；
（2）求函数y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平移变换规律可求g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ），由sin（2×$\frac{π}{8}$-φ）=±1，可求$\frac{π}{4}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，即可得解φ的值．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的单调增区间．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x，g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ）
∵x=$\frac{π}{8}$是函数y=g（x）图象的对称轴．
∴sin（2×$\frac{π}{8}$-φ）=±1，$\frac{π}{4}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{3π}{4}$．…（4分）
（2）由（1）知φ=$\frac{3π}{4}$，因此y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）．
由题意得2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴函数y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的单调增区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．…（8分）

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，求φ的值是解题的关键，属于基础题．