Question

10．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+2x，若数列{a_n}满足a₁=1．a_n+1=f（a_n）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）猜想a_n与3的大小关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）依次代入f（x）计算；
（2）先验证n=1时成立，假设n=k时猜想成立，利用二次函数的单调性推导n=k+1时猜想成立．

解答 解：（1）a₂=f（1）=-$\frac{1}{3}$+2=$\frac{5}{3}$，
a₃=f（$\frac{5}{3}$）=-$\frac{1}{3}×\frac{25}{9}$+2×$\frac{5}{3}$=$\frac{65}{27}$．
（2）猜想：a_n＜3．
证明：当n=1时，显然a₁=1＜3，猜想成立．
假设n=k时，猜想成立，即a_k＜3，
∵f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+2x的对称轴为x=3，开口向下，
∴f（x）在（-∞，3）上是增函数．
则a_k+1=f（a_k）＜f（3）=3，
∴n=k+1时，猜想成立．
综上，a_n＜3．

点评 本题考查了二次函数的性质，数学归纳法证明，属于中档题．